Riemanns drömmar del 2

Detta är del 2.1 i min serie Riemanns drömmar. På en lång vinglande väg har jag tänkt följa matematikhistorien fram till Riemann. Huvudmålet är att förklara Riemanns ζ-hypotes. Läs gärna del 1, 1 Matematik och de hela talen. Idag lägger jag upp första delen av kapitlet Nedslag i algebrans historia

2 Nedslag i algebrans historia—del I av II(?)

Det vi kallar arabiska siffror är den indiska kulturens kanske finaste bidrag till världen. Utan att använda detta system för att skriva tal är den enklaste beräkning en hård ansträngning. Visst, för addition och subtraktion duger de babylonska, egyptiska, grekiska, samt diverse barbarers system alldeles utmärkt. Det är väl inte så imponerande. För multiplikation, och framförallt för division finns bara ett system som duger: positionssystemet. Den briljanta med det indiskt-arabiska systemet är upptäckten av symbolen »0« som får två betydelser: dels för att beteckna det som icke är, dels för att indikera mäktighet eller position. När vi skriver 107 betyder tecknet 0 att siffran 1 flyttas upp till mäktighet 3, till skillnad från när vi skriver 17 där siffran 1 endast har mäktighet 2.

Utrustade med det nya mäktiga verktyget siffran kunde Kalifatets lärda män med lätthet räkna ut de mest förbluffande ting. Efter Euklides Elementa finns det få läroböcker som betytt så mycket som Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmīs skrift med den osäljbara titeln Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala (Kompediet om beräkningar medels komplementering och balansering). Titeln blev så småningom nerhuggen till الجبر, (al-ğabr) varifrån vi fått termen algebra. Tillsammans med Diafantos av Alexandria får al-Ḵwārizmī räknas som algebrans fader.

Kompendiet innhåller bland annat metoder för att lösa andragradsekvationer. I modern notation söks den obekanta x, för ekvationer av typen x² + px + q = 0. Uttrycket i vänsterledet kallas polynom av grad 2. Exempelvis är uttrycket x³ + 4x²+7 ett polynom av grad 3 och söker vi det tal x som löser ekvationen x³ + 4x²+7 = 0 söker vi roten till en tredjegradsekvation.

Al-Ḵwārizmī växte upp när Harun al-Rashid, kalifen känd från "Tusen och en natt", styrde det islamska imperiet från sitt säte i Bagdad. Efter Harun al-Rashids avlidit och al-Mamun krigat till sig makten från sin storebror så instiftade al-Mamun »Vishetens hus« en akademi där många grekiska och grekiskt-byzantiska verk översattes. I Vishetens hus arbetade al-K. tillsammans med andra matematiker i algebra, geometri och astronomi.

Många av de metoder som förklaras i al-Ḵwārizmīs bok är helt centrala för all algebra, i synnerhet al-ğabr och Al-Muqabala, varav förstås reduktion genom att addera respektive subtrahera samma belopp från båda led av ett utryck. Men al-Ḵwārizmīs notation, den så kallade retoriska algebran, var tyvärr ett steg tillbaka från Diafantos synkoperade algebra.

Från ett strikt matematiskt perspektiv är det enkelt att avfärda »al-ğabr« med att den inte innehåller några nya teorem och att de få bevis som ges mestadels är ofullständiga eller felaktiga. Som lärobok och introduktör av arabiska siffror till Europa kan boken knappast övervärderas.

År 1202 introducerade Leonardo Fibonacci de arabiska siffrorna för en bredare europeisk publik i Liber Abaci. De arabiska siffrorna hade Leonardo lärt sig när han på sin faders uppmaning studerat till köpman i Nordafrika. (Jodå, det är Fibonacci som i 1,1,2,3,5,8,13,21,...)

Snabbspolar vi från Fibonacci genom italienska senmedeltiden och en bit in i renässansen träffar vi på matematikern, läkaren, astrologen, spelaren och bastarden Gerolamo Cardano. Cardano levde ett liv som om vore det skrivet av Sture Dahlström: uppfann kardanknuten, skrev en bok om syfilis efter att hans horande dotter dött i sjukdomen, höll sig ekonomiskt flytande genom schack och hasardspel, skrev den första avhandlingen om sannolikhetsära med ett särskilt kapitel om metoder att fuska (publicerad postumt), var den första att beskriva tyfoidfeber, dömdes för kätteri efter att publicerat Jesu Krist horoskop, erhöll senare årligt uppehåll från påve Gregory XIII. Trots det rasande liv han levde är han framförallt ihågkommen som matematiker, vilket indikerar vikten av hans upptäckter, framförallt i algebra.

I Ars magna (ej i tryck) löser han fullständigt tredjegradsekvationen, vilket måste betecknas som de största framstegen i algebra sedan hellensk tid. Redan Tartaglia hade löst specialfallet utan kvadratiskt term, x³ +ax = b i modern notation. Tartaglia beskrev lösningen i korrespondens med Cardano, och trots att Tartaglia citerades med upptäckten i Ars Magna blev Tartaglia rosenrasande över att Cardano publicerade lösningen då han menade att Cardano lovat hålla lösningen hemlig. (Eftersom professurer tillsattes genom offentlig tävlan var de fördelaktigt att hålla skarpa resultat hemliga.)

För att kunna lösa en tredjegradsekvation, vilken som helst, var han tvungen att återföra den allmänna tredjegradsekvationen på en annan — enklare — form. För att kunna göra det införde han det »meningslösa« talet roten ut -1. Detta skulle tolkas som ett tal som uppfyller ekvationen x²+1 = 0. Naturligtvis kan inget reellt tal uppfylla en sådan ekvation, eftersom närhelst man multiplicerar ett reellt tal med sig själv får man ett positivt tal.

Cardanos tal kom att kallas imaginära tal. Djärvheten att bruka ett sådant tal måste uppskattas. Vi bör hålla i minnet att trots Euklides teori om inkommensurabla storheter, kunde vid denna tid inte ens de reella talen sägas vila på en stadig logisk grund. Positiva tal kunde tolkas som sträckor, och, beroende på ens filosofiska läggning, kan man ju tänka sig att vilket positivt tal som helst går att realisera som en sträcka. De negativa talen sågs på med allra största skepsis.

Innan de intensiva undersökningarna i matematikens grunder som genomfördes i Europa på sent 1800-tal och tidigt 1900-tal kunde enbart geometrin sägas ha sina grunder i logiken. Av denna orsak var det av allra största vikt att ge geometriska tolkningar till matematiska begrepp. Anledningen till att Cardanos tal kallades imaginära var att de inte »fanns«, dvs de gick inte att tolka på ett konkret geometriskt sätt. Dock upptäckte renässansmatematikerna strax att de gick utmärkt att utföra algebraiska operationer med dessa imaginära tal, och att resultaten som erhölls tycktes vara motsägelsefria.

Så om vi inför symbolen i för »talet« som löser ekvationen x²+1=0, d.v.s. uppfyller regeln i² = -1 och sedan låter talet uppfylla alla de vanliga räknereglerna för vanliga tal bildar vi de komplexa talen. De komplexa talen är de tal som kan skrivas a + b∙ i där a och b är vanliga reella tal.

Med de vanliga distributiva, associativa, och kommutativa reglerna som vi lär i högstadiet, det vill säga »mulitplicera uttryck i paranteser«, eller vad de råkar kalla det denna vecka, får vi reglerna för addition och multiplikation av komplexa tal:

Addition:

(a + b∙ i)+(c + d∙ i) = a+c + b∙ i+d∙ i=a+c + (b+d) i.

Multiplikation:

(a + b∙ i)(c + d∙ i) = ac + ad∙ i + b∙ i∙ c+b∙ i∙d∙ i
= ac +(ad+bc)∙ i + bd∙ i² = ac - bd+(ad+bc) i

De komplexa talen visade sig strax vara användbara i algebraiska manipulationer och tack det vare det nya verktygets användbarhet kunde man till viss del bortse från komplikationen att använda ett objekt man icke förstår. Strax insåg man att varje polynom har en lösning om man tillåts använda de komplexa talen. Detta påstående kallas av historiska skäl algebrans fundamentalsats, till många moderna algebraikers förtrytelse.

Ett nästan fullständigt bevis för algebrans fundamentalsats gavs första gången av Carl Friedrich Gauss 1799. Gauss kom att bli den främsta matematikern sedan antiken, och det kommer finnas anledningar för oss att komma tillbaka till honom senare.

Mystiken kring de komplexa talen skingrades när Gauss kunde ge en geometrisk tolkning av de komplexa talen och deras räkneregler. Gauss visade att man kan rita ett komplext tal som en sträcka i ett vanligt koordinatsystem. Det komplexa talet 3+i blir helt enkelt linjestycket mellan origo och punkten (3,1). Sedan kan man enkelt tolka addition och multiplikation geometriskt.

Addition av två komplexa tal fungerar på samma sätt som addition av kraftkomposanter. Parallellförflytta linjestycket för det ena komplexa talet till spetsen av det andra talet och dra ut linjestycket från origo till spetsen av den figur som bildas. Se figur:



För mulitplikation, addera de två linjestyckenas vinklar och multiplicera dess längder för att bilda produkten. Se figur:



Andra bloggar om: matematik, algebra, komplexa tal, Cardano, al-Kwarizimi