lördag, juni 10, 2006

Riemanns drömmar

Okej detta är ett litet experiment. Fick lust att skriva lite om Euler, Riemann, Dirichlet, Riemanns ζ-hypotes och hur den moderna matematiken föddes 50 år innan den moderna världen. Men det kommer att bli en jättelång artikel så jag skriver lite pö om pö. Återkoppling välkommnas.

1 Matematik och de hela talen.

En vanlig missuppfattning är att matematiker i huvudsak sysslar med siffror. Få så vitt spridda uppfattningar är så fullständigt felaktiga, men uppfattningen retar inte oss matematiker, om inte annat för att de som grundade vår vetenskap under antikens guldålder led av samma missuppfattning. När en ung matematiker, som genom historiens nyck ska förbli evigt anonym, upptäckte att så icke var fallet, att längden av diagonalen i en kvadrat inte går att uttrycka med hjälp av hela tal rycktes marken under antikens intellektuella fötter bort.

Upptäckten av de »irrationella talen«, talen som inte kan beskrivas som en kvot av heltal, var den värsta skandal som drabbat matematiken. Geometrin som tidigare troddes vila stadigt på aritmetikens oumrunkulliga grund visade sig innehålla element helt bortom de hela talens räckvidd. Det berättas ofta att Pythagoraerna i tysthet dränkte stackaren som först fann beviset för att kvadratroten ur 2 är irrationellt, i fåfängt hopp om att kväsa skandalen. Hur det nu må vara med det, men hade inte grekerna överkommit denna logiska katastrof vore inte vår värld möjlig. Den i många stycken klumpiga teorin om inkommersuabla storheter som en skyddsmur mot ologikens avgrund är en matematikens slaget vid Salamis.

Matematiken har genomlevt flera omvälvningar. Den första och viktigaste var när matematiken upptäcktes runt 700 före Kristus. För de i många stycken rätt opraktiska grekerna var matematik av många skäl i första hand en konceptuell vetenskap, i stället för en praktisk räknelära. Först efter att Kalifatet lånat in siffrorna från Indien kunde matematiken skiftas till att handla om att i första hand räkna ut saker. En annan när matematiken blev både konceptuell vetenskap och en räknelära under 1800-talet.

Såsmåningom framgick det att även om talteori och geometri onekligen båda är matematik kan man inte grunda geometrin enbart på den trygga talteorin. Geometrin har andra, i sig själv väsenskilda egenskaper. Både geometri och talteori kan väl sägas ytterst handla om att hantera mönster på ett vetenskapligt sätt. Senare grenar på matematikens träd: algebra, differentialkalkyl, komplex analys, topologi och så vidare kan alla säga beskriva mönster. Alla dessa grenar av matematiken, alla dess olika mönster är oersättliga för det moderna samhället. Från långt innan vi lämnar mammas mage till vi läggs till den eviga vilan är vi omringade av matematik. Om du inte tror mig så kan du prova att omvandla signalerna från ultraljudsmikrofonen till en fungerande bild utan att använda signalanalys eller linjär algebra.

En anledning till att många tror att matematik handlar om de hela talens egenskaper är att när vi försöker ge exempel på vad matematik är tar vi nästan alltid ett exempel från talteorin. De populäraste exemplen handlar om primtal.

Primtalen är byggstenarna för de hela talen. De tal som inte går att skriva som produkten av andra heltal. 4 är inte ett primtal ty 4 = 2 * 2, så 2 är en faktor i 4. Låt oss lista de första femton talen med deras faktorisering. (1 är ett så speciellt tal att jag inte låtsas om det i min lista.)

2, 3, 4=2*2, 5, 6=2*3, 7, 8=2*4=2*2*2, 9=3*3,10=2*5,11, 12=4*3=2*2*3, 13, 14=2*7, 15=3*5

Från listan är det tydligt att varje heltal är antingen ett primtal eller möjligt att skriva som produkten av primtal.

Det är ingen slump att Hardy använder Euklides primtalsats: det finns oändligt många primtal, som sitt främsta exempel på ett matematisk teorem i sin monumentala uppsats »En matematikers försvarstal« [A Mathematician's Apology, 1940]. På grund av lyckliga omständigheter ges barn fortfarande själdödande drillar i de fyra räknesätten. Trots att miniräknare är gratis. För att klara de enklaste uppgifter i den moderna världen är elementär räknefärdighet av vikt. Och ingen har ännu funnit bättre sätt att förstå matematik än att räkna exempel. Tack vare skolornas drill i räknesätten har de flesta medborgare än grundläggande förståelse för de hela talens egenskaper. På så sätt slapp Hardy tillbringa volymer med att förklara de ingående begreppen utan kunde direkt ge beviset för primtalsatsen.

För den som inte har Elementa till hands återger jag, liksom Hardy, Euklides bevis. Antag att primtalssatsen är falsk: att det bara finns ett ändligt antal primtal. Då kan vi skriva en lista över samtliga primtal 2,3,5,...,p. Bilda talet N=2*3*5*...*p +1, det vill säga vi multiplicerar ihop alla tal i vår fullständiga lista av primtal och lägger till 1. Talet N är inte delbart med 2, ty N/2 = 3*5*...*p + (1/2) vilket ju inte är ett heltal. På samma sätt är N inte delbart med något av talen i vår fullständiga lista över primtal, uttryckt annorlunda: varken 2,3, 5, osv upp till p är en faktor i N. Men varje tal kan antingen skrivas som produkten av primtal eller är själv ett primtal, så då måste väl N vara ett primtal då. Det motsäger vårt ursprungliga antagande att vi kan lista samtliga primtal. Vilket skulle bevisas.

Euklides primtalsats svarar på den mest fundamentala frågan om primtalen: hur många är de? Några ytterligare framsteg av större vikt rörarande primtal gjordes inte av hellenerna, ej heller i Kalifatet, eller i Bysans, ej heller av renässansen män.

För att driva kunskapen framåt måste vi först finna på ett förnuftigt system att teckna tal, de arabiska siffrorna, algebran och sedan differentialkalkylen. Först efter att differentialkalkylen upptäcktes började byggstenarna som krävs för ett bättre förstå primtal ligga på plats.

-----
Läs också fortsättningen Nedslag i algebrans historia

1 kommentar:

David Nessle sa...

Snälla! Fortsätt med denna utomordentliga artikelserie -- till min häpnad tyckte jag mig faktiskt förstå Euklides bevis -- vilket torde vara ett synnerligen gott betyg åt dina pedagogiska utförsgåvor, eftersom jag är raka motsatsen till Rain Man; det vill säga, jag har inget matematiskt gestaltseende, men i gengäld kan jag handla mina kalsonger själv.